Der kleine Gauß

Die Schüler sollten die Zahlen von 1 bis 50 zusammenzählen. Der kleine Gauß machte es sich einfach: 1 + 2 + 3 + … + 48 + 49 + 50 = (1 + 50) + (2 + 49) + (3 + 48) + … + (25 + 26) = 25*51 = 1250 + 25 = 1275.

In eine Formel gekleidet, ist die Summe(k von 1 bis n, k) = n*(n+1)/2. Für n = 50 kommt genau das raus, was der kleine Gauß raushatte, nämlich 50*51/2 = 25*51.

Sollten die Schüler nur bis 49 zählen, käme dann keine Zahl auf einhalb raus? Nein, 49*50/2 = 49*25. Eine der beiden aufeinanderfolgenden Zahlen im Zähler ist zwangsläufig gerade, weshalb der Bruch immer eine ganze Zahl bleibt. 

Beweisen lässt sich die Summenformel mit vollständiger Induktion. 
Summe(k von 1 bis 1, k) = 1*2/2 = 1, die Verankerung ist korrekt.
Gilt sie für n, dann auch für n+1, denn:
Summe(k von 1 bis n+1, k) = Summe(k von 1 bis n, k) + n+1 = n*(n+1)/2 + n+1 = n*(n+1)/2 + 2*(n+1)/2 = (n*(n+1) + 2*(n+1))/2 = (n+2)*(n+1)/2.

Die sogenannten Dreieckszahlen – die Anzahl in einem gleichseitigen Dreieck angeordneter Punkte – sind solche Summen, weil von der Spitze nach unten gezählt sind es 1 + 2 + 3 + … + n Punkte. 

So ist 253 eine Dreieckszahl, weil … und hier muss man eine quadratische Gleichung lösen:
253 = n*(n+1)/2 <=> 506 = n*(n+1) <=> n^2 + n – 506 = 0
n = -1/2 + Wurzel(1/4 + 506) = -1/2 + Wurzel(1/4 + 2024/4) = -1/2 + Wurzel(2025)/2 = -1/2 + 45/2 = 44/2 = 22.
Sie ist die 22. Dreieckszahl. 

Da 253 somit gleich 22*23/2 ist, ist sie auch gleich 11*23, das Produkt zweier Primzahlen. Wieviele sonst noch weisen diese Eigenschaft auf? Untersuchen wir mal:
T(1) = 1 = 1*2/2 = 1*1
T(2) = 3 = 2*3/2 = 1*3
T(3) = 6 = 3*4/2 = 3*2
T(4) = 10 = 4*5/2 = 2*5
T(5) = 15 = 5*6/2 = 5*3
T(6) = 21 = 6*7/2 = 3*7
T(7) = 28 = 7*8/2 = 7*4
Es scheint sich ein Muster anzudeuten:
T(n) = (1+2*GANZZAHL(n/2))*GANZZAHL((n+1)/2)
Beide Faktoren sind Primzahlen in den Fällen:
T(3) = 6 = 3*2 = 3*4/2
T(6) = 21 = 7*3 = 6*7/2
T(10) = 55 = 11*5 = 10*11/2
T(13) = 91 = 13*7 = 13*14/2
T(22) = 253 = 23*11 = 22*23/2
T(37) = 703 = 37*19 = 37*38/2
T(46) = 1081 = 47*23 = 46*47/2
im Bereich bis T(50).

Das reicht fürs Erste.

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